El teorema de Göden

En su forma más desnuda o descarnada, el descubrimiento de Godel supone la traducción de una vieja paradoja filosófica a términos matemáticos. Me refiero a la llamada paradoja de Epiménides, o paradoja del ‘mentiroso. Epiménídes, cretense, hizo esta inmortal aseveración: “Todos los cretenses son mentirosos”. Una versión más afilada de la paradoja es sencillamente “Estoy mintiendo” o “Esta aseveración es falsa”. Es una aseveración que de manera brutal contradice la dicotomía tan generalmente aceptada entre aseveraciones verdaderas y aseveraciones falsas, puesto que si por un momento la tomamos como verdadera inmediatamente se nos dispara por la culata y nos ponemos a pensar que es falsa.Mientras que la aseveración de Epiménides crea una paradoja, puesto que no es ni verdadera ni falsa, la aseveración G de Godel es indemostrable.

A Godel se le ocurrió la idea de utilizar el razonamiento matemático para explorar el razonamiento matemático. Podemos comparar el Teorema con una perla y el método de demostración con una ostra. La perla es estimada por su tersura y su sencillez; la ostra es un ser vivo y complejo de cuyas tripas brota esa gema misteriosamente simple.

 

El teorema de Gödel es equiparable en matemáticas, por su importancia, a la teoría de la relatividad de Albert Einstein, en física. Es una de las construcciones fundamentales de las matemáticas de todos los tiempos. Gödel utilizó el rigor de las matemáticas para demostrar, sin lugar a dudas que las matemáticas, la ciencia exacta, en sí misma son incompletas.

Primer teorema de incompletitud de Gödel

Cualquier teoría aritmética recursiva que sea consistente es incompleta.

Segundo teorema de incompletitud de Gödel

En toda teoría aritmética recursiva consistente T, la fórmula Consistente T no es un teorema.

En 1931, Gödel demuestra que en cualquier sistema lógico basado en axiomas y reglas de inferencia, existen enunciados cuya verdad o falsedad no vamos a poder demostrar, basándonos en la propia lógica matemática del sistema. Antes de Gödel esto ni siquiera se consideraba, pues lo interesante de un enunciado era poder demostrar si era verdadero o bien falso. A partir de Gödel aparece una diferencia muy sutil entre verdad/falsedad y demostrabilidad.

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